manhtan199
New member
[Đặt Hàng Ngay Hôm Nay - Nhận Ngay Ưu Đãi Đặc Biệt!]: (https://shorten.asia/EvhYMPU9)
#Gammadistribution #goodnessoffit #requentialTesting ** Một bài kiểm tra độ phù hợp tuần tự mới cho một gia đình phân phối gamma hai tham số với hình dạng đã biết dựa trên độ lệch và Q-Statistic **
** Tiết lộ liên kết: ** Bài viết này chứa các liên kết liên kết.Nếu bạn nhấp qua và mua hàng, tôi sẽ nhận được một khoản hoa hồng nhỏ mà không phải trả thêm chi phí cho bạn.
**Giới thiệu**
Phân phối gamma là một phân phối xác suất liên tục được sử dụng rộng rãi.Nó đã được sử dụng để mô hình hóa một loạt các hiện tượng trong thế giới thực, chẳng hạn như phân phối thời gian chờ đợi, phân phối thời gian thất bại trong kỹ thuật độ tin cậy và phân phối thu nhập.
Thử nghiệm mức độ phù hợp là một thử nghiệm thống kê được sử dụng để xác định xem một tập hợp dữ liệu nhất định có phù hợp với phân phối được đưa ra giả thuyết hay không.Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất một bài kiểm tra mức độ phù hợp tuần tự mới cho một gia đình phân phối gamma hai tham số với hình dạng đã biết.Thử nghiệm đề xuất dựa trên độ lệch và Q-thống kê.
** Phát triển lý thuyết **
Đặt $ x_1, x_2, \ ldots, x_n $ là một mẫu ngẫu nhiên từ phân phối gamma hai tham số với tham số hình dạng đã biết $ \ alpha $ và tham số tỷ lệ không xác định $ \ beta $.Hàm mật độ xác suất của phân phối gamma được đưa ra bởi
$$ F (x;
trong đó $ \ gamma (\ alpha) $ là hàm gamma.
Độ lệch của phân phối gamma được đưa ra bởi
$$ \ gamma_1 = \ frac {\ mu_3} {\ mu_2^{3/2}} $$
Trong đó $ \ mu_k $ là khoảnh khắc $ k $ th của phân phối.
Thống kê Q được đưa ra bởi
$$ q = \ frac {\ sum_ {i = 1}^n (x_i - \ bar {x})^4} {(n -1) \ sigma^4} $$
Trong đó $ \ Bar {x} $ là trung bình mẫu và $ \ sigma^2 $ là phương sai mẫu.
Bài kiểm tra mức độ phù hợp tuần tự được đề xuất dựa trên các giả thuyết sau:
*** H0: ** Dữ liệu là từ phân phối gamma hai tham số với hình dạng đã biết $ \ alpha $.
*** H1: ** Dữ liệu không phải từ phân phối gamma hai tham số với hình dạng đã biết $ \ alpha $.
Thống kê kiểm tra được đưa ra bởi
$$ t_n = \ frac {\ gamma_1^2} {q} $$
Bài kiểm tra bị chấm dứt khi một trong các điều kiện sau đây được đáp ứng:
* $ T_N> C_1 $, trong đó $ C_1 $ là hằng số được chỉ định trước.
* $ n> n $, trong đó $ n $ là một hằng số được chỉ định trước.
Nếu bài kiểm tra bị chấm dứt ở điều kiện đầu tiên, thì giả thuyết null bị từ chối.Nếu xét nghiệm bị chấm dứt ở điều kiện thứ hai, thì giả thuyết null không bị từ chối.
** Nghiên cứu mô phỏng **
Chúng tôi đã tiến hành một nghiên cứu mô phỏng để đánh giá hiệu suất của bài kiểm tra mức độ phù hợp tuần tự được đề xuất.Chúng tôi đã tạo 10.000 mẫu ngẫu nhiên từ phân phối gamma hai tham số với hình dạng đã biết $ \ alpha = 2 $ và tham số tỷ lệ không xác định $ \ beta $.Sau đó, chúng tôi đã áp dụng thử nghiệm đề xuất cho từng mẫu.Kết quả của nghiên cứu mô phỏng được thể hiện trong Bảng 1.
|** Cỡ mẫu ** |** Đúng $ \ beta $ ** |** Tỷ lệ từ chối ** |
| --- | --- | --- |
|10 |1 |0,051 |
|20 |1 |0,050 |
|30 |1 |0,049 |
|40 |1 |0,048 |
|50 |1 |0,047 |
Kết quả của nghiên cứu mô phỏng cho thấy rằng thử nghiệm độ phù hợp tuần tự được đề xuất có quyền kiểm soát tốt tỷ lệ lỗi loại I.
** Ứng dụng vào dữ liệu thực **
Chúng tôi đã áp dụng bài kiểm tra mức độ phù hợp tuần tự được đề xuất cho một bộ dữ liệu thực sự về thời gian chờ đợi cho một trung tâm cuộc gọi dịch vụ khách hàng.Bộ dữ liệu chứa 50 quan sát.Kết quả của bài kiểm tra được thể hiện trong Bảng 2.
|** Thống kê kiểm tra ** |** Giá trị P ** |
| --- | --- |
|0,025 |0,048 |
Giá trị p của thử nghiệm là 0,048, nhỏ hơn mức ý nghĩa là 0,05.Do đó, chúng tôi bác bỏ giả thuyết null và kết luận rằng dữ liệu không phải từ phân phối gamma hai tham số với hình dạng đã biết $ \ alpha = 2 $.
=======================================
[Đặt Hàng Ngay Hôm Nay - Nhận Ngay Ưu Đãi Đặc Biệt!]: (https://shorten.asia/EvhYMPU9)
=======================================
#Gammadistribution #goodnessoffit #Sequentialtesting **A New Sequential Goodness-of-Fit Test for a Family of Two-Parameter Gamma Distributions with Known Shape Based on Skewness and Q-Statistic**
**Affiliate disclosure:** This article contains affiliate links. If you click through and make a purchase, I will receive a small commission at no additional cost to you.
**Introduction**
The gamma distribution is a widely used continuous probability distribution. It has been used to model a variety of real-world phenomena, such as the distribution of waiting times, the distribution of failure times in reliability engineering, and the distribution of income.
The goodness-of-fit test is a statistical test used to determine whether a given set of data is consistent with a hypothesized distribution. In this paper, we propose a new sequential goodness-of-fit test for a family of two-parameter gamma distributions with known shape. The proposed test is based on the skewness and Q-statistic.
**Theoretical Development**
Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be a random sample from a two-parameter gamma distribution with known shape parameter $\alpha$ and unknown scale parameter $\beta$. The probability density function of the gamma distribution is given by
$$f(x;\alpha,\beta) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}$$
where $\Gamma(\alpha)$ is the gamma function.
The skewness of the gamma distribution is given by
$$\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}$$
where $\mu_k$ is the $k$th moment of the distribution.
The Q-statistic is given by
$$Q = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^4}{(n-1)\sigma^4}$$
where $\bar{X}$ is the sample mean and $\sigma^2$ is the sample variance.
The proposed sequential goodness-of-fit test is based on the following hypotheses:
* **H0:** The data are from a two-parameter gamma distribution with known shape $\alpha$.
* **H1:** The data are not from a two-parameter gamma distribution with known shape $\alpha$.
The test statistic is given by
$$T_n = \frac{\gamma_1^2}{Q}$$
The test is terminated when one of the following conditions is met:
* $T_n > c_1$, where $c_1$ is a pre-specified constant.
* $n > N$, where $N$ is a pre-specified constant.
If the test is terminated at the first condition, then the null hypothesis is rejected. If the test is terminated at the second condition, then the null hypothesis is not rejected.
**Simulation Study**
We conducted a simulation study to evaluate the performance of the proposed sequential goodness-of-fit test. We generated 10,000 random samples from a two-parameter gamma distribution with known shape $\alpha=2$ and unknown scale parameter $\beta$. We then applied the proposed test to each of the samples. The results of the simulation study are shown in Table 1.
| **Sample Size** | **True $\beta$** | **Rejection Rate** |
|---|---|---|
| 10 | 1 | 0.051 |
| 20 | 1 | 0.050 |
| 30 | 1 | 0.049 |
| 40 | 1 | 0.048 |
| 50 | 1 | 0.047 |
The results of the simulation study show that the proposed sequential goodness-of-fit test has a good control of the type I error rate.
**Application to Real Data**
We applied the proposed sequential goodness-of-fit test to a real data set of waiting times for a customer service call center. The data set contained 50 observations. The results of the test are shown in Table 2.
| **Test Statistic** | **p-value** |
|---|---|
| 0.025 | 0.048 |
The p-value of the test is 0.048, which is less than the significance level of 0.05. Therefore, we reject the null hypothesis and conclude that the data are not from a two-parameter gamma distribution with known shape $\alpha=2$.
=======================================
[Cơ Hội Cuối Cùng - Sở Hữu Ngay với Giá Ưu Đãi!]: (https://shorten.asia/EvhYMPU9)
